- 链接：https://leetcode.cn/problems/combinations/description/
分析 #
如果解决一个问题有多个步骤，每一个步骤有多种方法，题目又要我们找出所有的方法，可以使用回溯算法；
回溯算法是在一棵树上的 深度优先遍历（因为要找所有的解，所以需要遍历）；
组合问题，相对于排列问题而言，不计较一个组合内元素的顺序性（即 [1, 2, 3] 与 [1, 3, 2] 认为是同一个组合），因此很多时候需要按某种顺序展开搜索，这样才能做到不重不漏。
既然是树形问题上的 深度优先遍历，因此首先画出树形结构。例如输入：n = 4, k = 2，我们可以发现如下递归结构：
- 如果组合里有
1，那么需要在[2, 3, 4]里再找 $1$ 个数； - 如果组合里有
2，那么需要在[3, 4]里再找 $1$ 数。注意：这里不能再考虑 $1$，因为包含 $1$ 的组合，在第 1 种情况中已经包含。
依次类推（后面部分省略），以上描述体现的 递归 结构是：在以 nnn 结尾的候选数组里，选出若干个元素。画出递归结构如下图：
叶子结点的信息体现在从根结点到叶子结点的路径上，因此需要一个表示路径的变量 path，它是一个列表，特别地，path 是一个栈；
每一个结点递归地在做同样的事情，区别在于搜索起点，因此需要一个变量 start ，表示在区间 [begin, n] 里选出若干个数的组合；
可能有一些分支没有必要执行，我们放在优化中介绍。
代码 #
class Solution {
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if (k <= 0 || n < k) {
return res;
}
Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
dfs(n, k, 1, path, res);
return res;
}
private void dfs(int n, int k, int begin, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
if (path.size() == k) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = begin; i <= n; i++) {
path.addLast(i);
dfs(n, k, i + 1, path, res);
path.removeLast();
}
}
}
如果对于回溯算法还理解不太透彻的朋友，可以在递归方法的前后，把 path 变量打印出来看一下，并结合上面画出的树形图进行理解。
带 System.out.println 的调试语句不可以提交给力扣测评系统，会拖慢我们的程序执行时间。
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Deque;
import java.util.List;
public class Solution {
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if (k <= 0 || n < k) {
return res;
}
Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
dfs(n, k, 1, path, res);
return res;
}
private void dfs(int n, int k, int begin, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
if (path.size() == k) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
for (int i = begin; i <= n; i++) {
path.addLast(i);
System.out.println("递归之前 => " + path);
dfs(n, k, i + 1, path, res);
path.removeLast();
System.out.println("递归之后 => " + path);
}
}
public static void main(String[] args) {
Solution solution = new Solution();
int n = 5;
int k = 3;
List<List<Integer>> res = solution.combine(n, k);
System.out.println(res);
}
}
控制台输出：
递归之前 => [1]
递归之前 => [1, 2]
递归之前 => [1, 2, 3]
递归之后 => [1, 2]
递归之前 => [1, 2, 4]
递归之后 => [1, 2]
递归之前 => [1, 2, 5]
递归之后 => [1, 2]
递归之后 => [1]
递归之前 => [1, 3]
递归之前 => [1, 3, 4]
递归之后 => [1, 3]
递归之前 => [1, 3, 5]
递归之后 => [1, 3]
递归之后 => [1]
递归之前 => [1, 4]
递归之前 => [1, 4, 5]
递归之后 => [1, 4]
递归之后 => [1]
递归之前 => [1, 5]
递归之后 => [1]
递归之后 => []
递归之前 => [2]
递归之前 => [2, 3]
递归之前 => [2, 3, 4]
递归之后 => [2, 3]
递归之前 => [2, 3, 5]
递归之后 => [2, 3]
递归之后 => [2]
递归之前 => [2, 4]
递归之前 => [2, 4, 5]
递归之后 => [2, 4]
递归之后 => [2]
递归之前 => [2, 5]
递归之后 => [2]
递归之后 => []
递归之前 => [3]
递归之前 => [3, 4]
递归之前 => [3, 4, 5]
递归之后 => [3, 4]
递归之后 => [3]
递归之前 => [3, 5]
递归之后 => [3]
递归之后 => []
递归之前 => [4]
递归之前 => [4, 5]
递归之后 => [4]
递归之后 => []
递归之前 => [5]
递归之后 => []
[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]]
优化：分析搜索起点的上界进行剪枝
我们上面的代码，搜索起点遍历到 n，即：递归函数中有下面的代码片段：
// 从当前搜索起点 begin 遍历到 n
for (int i = begin; i <= n; i++) {
path.addLast(i);
dfs(n, k, i + 1, path, res);
path.removeLast();
}
事实上，如果 n = 7, k = 4，从 $5$ 开始搜索就已经没有意义了，这是因为：即使把 $5$ 选上，后面的数只有 $6$ 和 $7$，一共就 $3$ 个候选数，凑不出 $4$ 个数的组合。因此，搜索起点有上界，这个上界是多少，可以举几个例子分析。
分析搜索起点的上界，其实是在深度优先遍历的过程中剪枝，剪枝可以避免不必要的遍历，剪枝剪得好，可以大幅度节约算法的执行时间。
下面的图片绿色部分是剪掉的枝叶，当 n 很大的时候，能少遍历很多结点，节约了时间。
（温馨提示：右键，在弹出的下拉列表框中选择「在新标签页中打开图片」，可以查看大图。）
容易知道：搜索起点和当前还需要选几个数有关，而当前还需要选几个数与已经选了几个数有关，即与 path 的长度相关。我们举几个例子分析：
例如：n = 6 ，k = 4。
path.size() == 1的时候，接下来要选择 $3$ 个数，搜索起点最大是 $4$，最后一个被选的组合是[4, 5, 6]；path.size() == 2的时候，接下来要选择 $2$ 个数，搜索起点最大是 $5$，最后一个被选的组合是[5, 6]；path.size() == 3的时候，接下来要选择 $1$ 个数，搜索起点最大是 $6$，最后一个被选的组合是[6]；
再如：n = 15 ，k = 4。
path.size() == 1的时候，接下来要选择 $3$ 个数，搜索起点最大是 $13$，最后一个被选的是[13, 14, 15]；path.size() == 2的时候，接下来要选择 $2$ 个数，搜索起点最大是 $14$，最后一个被选的是[14, 15]；path.size() == 3的时候，接下来要选择 $1$ 个数，搜索起点最大是 $15$，最后一个被选的是[15]；
可以归纳出：
搜索起点的上界 + 接下来要选择的元素个数 - 1 = n
其中，接下来要选择的元素个数 = k - path.size()，整理得到：
搜索起点的上界 = n - (k - path.size()) + 1
所以，我们的剪枝过程就是：把 i <= n 改成 i <= n - (k - path.size()) + 1 ：
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Deque;
import java.util.List;
public class Solution {
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
if (k <= 0 || n < k) {
return res;
}
Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
dfs(n, k, 1, path, res);
return res;
}
private void dfs(int n, int k, int index, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
if (path.size() == k) {
res.add(new ArrayList<>(path));
return;
}
// 只有这里 i <= n - (k - path.size()) + 1 与参考代码 1 不同
for (int i = index; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
path.addLast(i);
dfs(n, k, i + 1, path, res);
path.removeLast();
}
}
}
一些边界条件比较绕的，用具体的例子分析就不容易出错，主要考察的是细心，没有太多技巧；
为参考代码 3 添加 path 的打印输出语句，可以看到输出语句会更少。
递归之前 => [1]
递归之前 => [1, 2]
递归之前 => [1, 2, 3]
递归之后 => [1, 2]
递归之前 => [1, 2, 4]
递归之后 => [1, 2]
递归之前 => [1, 2, 5]
递归之后 => [1, 2]
递归之后 => [1]
递归之前 => [1, 3]
递归之前 => [1, 3, 4]
递归之后 => [1, 3]
递归之前 => [1, 3, 5]
递归之后 => [1, 3]
递归之后 => [1]
递归之前 => [1, 4]
递归之前 => [1, 4, 5]
递归之后 => [1, 4]
递归之后 => [1]
递归之后 => []
递归之前 => [2]
递归之前 => [2, 3]
递归之前 => [2, 3, 4]
递归之后 => [2, 3]
递归之前 => [2, 3, 5]
递归之后 => [2, 3]
递归之后 => [2]
递归之前 => [2, 4]
递归之前 => [2, 4, 5]
递归之后 => [2, 4]
递归之后 => [2]
递归之后 => []
递归之前 => [3]
递归之前 => [3, 4]
递归之前 => [3, 4, 5]
递归之后 => [3, 4]
递归之后 => [3]
递归之后 => []
[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]]